\section{2004}
一、（$30'$）粒子在一维无限深方势阱$V(x)$中运动，$V(x)=\begin{cases}\infty,&|x|>a\\0,&|x|<a\end{cases}$处于状态$\psi=\phi_1+\phi_3+2\phi_4$。这里$\phi_n,n=1,2,3,\cdots$是系统归一化的能量本征态。请问：

（1）粒子具有基态能量$E_1$几率；（2）粒子的平均能量（用基态能量$E_1$的倍数表示）；（3）态$\phi_4$中的节点数（在节点处，找到粒子的几率密度为零）；（4）态$\phi_3$的宇称。



二、考虑一维体系$\hat{H}=\frac{p^2}{2\mu}+V(x),\quad V(x)=V_0x^\lambda,\quad V_0>0,\quad \lambda=2,4,6\cdots$。设$\hat{H}$的本征波函数为$\psi_n$。

（1）证明动量在态$\psi_n$中的平均值为零；

（2）求在态$\psi_n$中的动能平均值和势能平均值之间的关系。



三、设归一化的状态波函数$|\psi\rangle$满足薛定鄂方程$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi\rangle=\hat{H}|\psi\rangle$，定义密度算符（矩阵）为$\rho=|\psi\rangle\langle\psi|$。

（1）证明任意力学量$\hat{F}$在态$|\psi\rangle$中的平均值可表示为$Tr(\rho F)$；

（2）求出$\rho$的本征值；

（3）导出随时间演化的方程。



四、质量为$\mu$的粒子在三维各向同性谐振子势为$V(r)=\frac{kr^2}{2}=\frac{k(x^2+y^2+z^2)}{2}$中运动。求：（1）第二激发态的能量；（2）第一激发态的简并度；（3）在基态中的不确定量$\Delta r\cdot\Delta p$，这里$\Delta r$是位置矢量的均方差根



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\section*{2004解答}
一、（$30'$）粒子在一维无限深方势阱$V(x)$中运动，$V(x)=\begin{cases}\infty,&|x|>a\\0,&|x|<a\end{cases}$处于状态$\psi=\phi_1+\phi_3+2\phi_4$。这里$\phi_n,n=1,2,3,\cdots$是系统归一化的能量本征态。请问：

（1）粒子具有基态能量$E_1$几率；（2）粒子的平均能量（用基态能量$E_1$的倍数表示）；（3）态$\phi_4$中的节点数（在节点处，找到粒子的几率密度为零）；（4）态$\phi_3$的宇称。

解：

将$\psi$归一化，$\langle \psi|\psi\rangle=1$，即：$A^2(1+1+4)=1\qquad A=\frac{1}{\sqrt6}$，
$$\psi=\frac{1}{\sqrt6}\phi_1+\frac{1}{\sqrt6}\phi_3+\frac{2}{\sqrt6}\phi_4$$
该系统本征函数系和本征值为：
$$\phi_n=\begin{cases}\frac{1}{\sqrt a}\cos\frac{n\pi}{2a}x,&n\text{为奇}\\ \frac{1}{\sqrt a}\sin\frac{n\pi}{2a}x,&n\text{为偶}\end{cases}
\qquad E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{8ma^2}\quad E_3=9E_1\quad E_4=16E_1$$

（1）$E_1$的几率：$P_1=|\langle\phi_1|\psi\rangle|^2=\frac{1}{6}$；

（2）粒子的平均能量：$\langle E\rangle=\frac{1}{6}E_1+\frac{1}{6}9E_1+\frac{4}{6}16E_1=\frac{37}{3}E_1$；

（3）态$\phi_4$中的节点数：3（$n-1$）；

（4）态$\phi_3$为偶宇称。

二、考虑一维体系$\hat{H}=\frac{p^2}{2\mu}+V(x),\quad V(x)=V_0x^\lambda,\quad V_0>0,\quad \lambda=2,4,6\cdots$。设$\hat{H}$的本征波函数为$\psi_n$。

（1）证明动量在态$\psi_n$中的平均值为零；

（2）求在态$\psi_n$中的动能平均值和势能平均值之间的关系。

证明：

（1）
$$[x,\hat{H}]=\frac{i\hbar}{m}p_x\qquad \text{设} H|\psi_n\rangle=E_n|\psi_n\rangle$$
\begin{align*}
\langle p_x\rangle&=\frac{m}{i\hbar}\langle \psi_n|[x,\hat{H}]|\psi_n\rangle
=\frac{m}{i\hbar}\langle\psi_n|x\hat{H}-\hat{H}x|\psi_n\rangle
=\frac{m}{i\hbar}\langle \psi_n|x\hat{H}|\psi_n\rangle-\frac{m}{i\hbar}\langle\psi_n|\hat{H}x|\psi_n\rangle\\
&=\frac{m}{i\hbar}E_n\langle x\rangle-\frac{m}{i\hbar}E_n\langle x\rangle=0
\end{align*}

（2）\\
{ 涉及$\langle T\rangle ,\langle V\rangle$，一看就要用位力定理，$2\langle T\rangle=\langle \vec{r}\cdot\nabla V\rangle$。}
$$2\langle T\rangle =\langle x\frac{\partial}{\partial x}V\rangle=\langle x\frac{\partial}{\partial x}V_0x^\lambda\rangle=\langle xV_0\lambda x^{\lambda-1}\rangle=\langle \lambda V_0x^\lambda\rangle=\lambda\langle x\rangle$$

三、设归一化的状态波函数$|\psi\rangle$满足薛定鄂方程$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi\rangle=\hat{H}|\psi\rangle$，定义密度算符（矩阵）为$\rho=|\psi\rangle\langle\psi|$。

（1）证明任意力学量$\hat{F}$在态$|\psi\rangle$中的平均值可表示为$Tr(\rho F)$；

（2）求出$\rho$的本征值；

（3）导出随时间演化的方程。

解：取正交归一完备基$\{|n\rangle\}$，利用完备性公式：$\sum_n|n\rangle\langle n|=1$。

（1）
$$\langle F\rangle=\langle \psi|\hat{F}|\psi=\langle\psi|\hat{F}\sum_n|n\rangle\langle n|\psi\rangle=\sum_n\langle n|\hat{F}|\psi\rangle\langle\psi|n\rangle=\sum\langle n|\hat{F}\rho|n\rangle=Tr(\hat{F}\rho)$$

（2）
$$\rho|\psi\rangle=\lambda|\psi\rangle, \quad
\rho^2=|\psi\rangle\langle\psi|\psi\rangle\langle\psi|=|\psi\rangle\langle|=\rho,\quad
\rho^2|\psi\rangle=\lambda^2|\psi\rangle=\lambda|\psi\rangle,\quad
\lambda^2=\lambda,\quad \lambda=0,1$$

（3）
$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\rho=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}(|\psi\rangle\langle\psi|)=(i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi\rangle)\langle \psi|+|\psi\rangle(i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\langle\psi|)$$
由薛定鄂方程$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi\rangle=\hat{H}|\psi\rangle$及其共轭$-i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\langle\psi|=\langle \psi|\hat{H}$，
$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\rho=\hat{H}|\psi\rangle\langle\psi|-|\psi\rangle\langle\psi|\hat{H}=[\hat{H},\rho]$$
??????????还不太理解！！！

四、质量为$\mu$的粒子在三维各向同性谐振子势为$V(r)=\frac{kr^2}{2}=\frac{k(x^2+y^2+z^2)}{2}$中运动。求：（1）第二激发态的能量；（2）第一激发态的简并度；（3）在基态中的不确定量$\Delta r\cdot\Delta p$，这里$\Delta r$是位置矢量的均方差根




















































